Лекторий Математических Центров

  •  
    13:40
  •  
    Online-платформа Tencent VooV Meeting

В рамках сотрудничества Китайско-Российского математического центра (Пекин) и Московского центра фундаментальной и прикладной математики (Москва) ведущие российские и китайские ученые прочтут несколько специальных курсов на актуальные темы, которые активно излучаются специалистами во всем мире, в том числе, в России и Китае. 

 

Курс «Геометрия Нийенхейса»

Лекторы

Алексей Болсинов профессор, Лауборо, Великобритания, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия
Андрей Коняев доцент, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия

 

Этот курс представляет собой введение в геометрию Нейенхейса, новую сложную область дифференциальной геометрии, которая изучает локальные и глобальные свойства геометрических структур, задаваемых полем эндоморфизмов с исчезающим кручением Нейенхейса. Эта тема находится на стыке геометрии, математической физики и алгебры, поскольку структуры Нейенхейса естественным образом появляются во многих, казалось бы, не связанных между собой областях исследований, таких как бигамильтоновы интегрируемые системы (как конечные, так и бесконечномерные), проективная геометрия, теория левосимметрических алгебр и другие.

Темы курса

  • Fields of endomorphisms. Nijenhuis torsion and Nijenhuis operators: equivalent definitions.
  • Basic properties of Nijenhuis operators. Splitting theorem.
  • Diagonalisable and differentially non-degenerate Nijenhuis operators.
  • Nijenhuis operators with complex eiganvalues. Generalised Nirenberg-Newlander theorem.
  • Nilpotent Nijenhuis operators and Jordan blocks.
  • Singular points of Nijenhuis operators and linearisation.
  • Left-symmetric algebras. Linearisability and non-degenaracy.
  • gl-regular Nijenhuis operators and their canonical forms.
  • Nijenhuis perturbations of a Jordan block.
  • Normal forms for gl-regular Nijenhuis operators in dimension 2
  • Global properties of Nijenhuis operators on closed manifolds.
  • Nijenhuis operators and bi-Hamiltonian systems.
  • Nijenhuis operators and geodesically equivalent metrics.
  • Niejnhuis operators and Poisson brackets f hydrodynamic type.
  • Open problems in Nijenhuis Geometry.

Даты и время: 13:40 (МСК) по понедельникам и четвергам

Продолжительность: 12 недель

Первое занятие: 22.03.2021, 13:40

 

 

 

Курс «Введение в теорию интегрируемых систем»

Лекторы

Олег Мохов профессор, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия
Сергей Смирнов доцент, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия

 

Теория интегрируемых систем — это область математики, которая лежит на пересечении теории дифференциальных уравнений, геометрии и физики. Она была очень быстро развита в последней четверти двадцатого века усилиями нескольких выдающихся математиков и физиков. Целью данного курса является формирование аккуратного и хорошо сфокусированного введения в теорию интегрируемых систем, описание основных ее понятий и методов и рассмотрение набора важных примеров, происходящих из дифференциальной геометрии, классической механики и теоретической физики. В рамках данного курса мы обсудим различные определения интегрируемости, идею представления систем в форме Лакса, метод обратной задачи рассеяния, а затем используем эти методы для изучения таких хорошо известных и важных интегрируемых систем, как цепочка Тоды и уравнение КдФ.

Курс будет полезным не только для тех студентов, которые специализируются в теории интегрируемых систем (как база для будущих исследований), но также и для тех, кто работает в области геометрии, топологии и теории дифференциальных уравнений.

Темы курса

  • The Lagrangian formalism: elements of variational calculus, Euler–Lagrange equation, Lagrangian approach to Newtonian mechanics, variational principle and geodesics, Noether’s theorem, generalized variational problem with higher-order derivatives.
  • The Hamiltonian formalism: Hamiltonian equations, Hamiltonian form of Lagrangian equation, Poisson brackets and first integrals.
  • Symplectic and Poisson manifolds, Darboux’s theorem. Hamiltonian vector fields. Symplectic leaves, Casimir functions.
  • Liouville integrability: Liouville–Arnold theorem and action-angle variables.
  • Classical examples of integrable systems: Kepler problem, the Lagrange top, geodesics on an ellipsoid.
  • Lax representation and first integrals. Lax representations with spectral parameter.
  • The theory of one-dimensional Toda lattice: Lax representation, Liouville integrability, inverse scattering method. Relation to the QR-algorithm.
  • Bi-Hamiltonian approach and Lenard–Magri scheme. 
  • The theory of Veselov–Shabat dressing chain: Darboux transformations, Liouville integrability and relation to the Painvele equation.
  • Integrable discrete equations on quad-graphs: 3D-consistency and zero curvature representation. Cauchy problem and the Adler–Bobenko–Suris theorem.
  • Isospectral deformations of the Schrodinger operator and the Korteweg-de Vries equation (KdV). Single soliton solution.
  • Gelfand–Dickey approach: pseudo-differential operators and the square root of the Schrödinger equation. The KdV hierarchy.
  • Elements of the scattering theory for one-dimensional Schrödinger operatior with rapidly decaying potential.
  • The inverse scattering method for the KdV equation: Gelfand–Levitan–Marchenko eqution, Gardner–Green–Kruskal–Miura equations.
  • Reflectionless potentials and multi-soliton solutions for the KdV equation. Interaction of solitons. Asymptotics of solutions to the KdV equation.
  • Modified KdV equation, the Miura transformation. Backlund transformation for the KdV equation. The Hirota’s method.
  • Gardner–Zakharov–Faddeev bracket. Hamiltonian and bi-Hamiltonian structures for the KdV equation.
  • Polynomial integrals of motion for the KdV equation and its complete integrability.
  • Asymptotic curves on the surfaces of constant negative curvature and the sin-Gordon equation.

Даты и время: 10:10 (МСК) по вторникам, 13:40 (МСК) по четвергам

Продолжительность: 12 недель

Первое занятие: 23.03.2021, 10:10

 

 

 

Лекции будут проходить на сервисе Tencent VooV Meeting.

Для участия нужно установить приложение по ссылке: https://voovmeeting.com

Следите за анонсами на нашем сайте для получения ConferenceID и паролей.

новости
математика