В рамках сотрудничества Китайско-Российского математического центра (Пекин) и Московского центра фундаментальной и прикладной математики (Москва) ведущие российские и китайские ученые прочтут несколько специальных курсов на актуальные темы, которые активно излучаются специалистами во всем мире, в том числе, в России и Китае.
Курс «Геометрия Нийенхейса»
Лекторы
| Алексей Болсинов | профессор, Лауборо, Великобритания, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия |
| Андрей Коняев | доцент, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия |
Этот курс представляет собой введение в геометрию Нейенхейса, новую сложную область дифференциальной геометрии, которая изучает локальные и глобальные свойства геометрических структур, задаваемых полем эндоморфизмов с исчезающим кручением Нейенхейса. Эта тема находится на стыке геометрии, математической физики и алгебры, поскольку структуры Нейенхейса естественным образом появляются во многих, казалось бы, не связанных между собой областях исследований, таких как бигамильтоновы интегрируемые системы (как конечные, так и бесконечномерные), проективная геометрия, теория левосимметрических алгебр и другие.
Темы курса
- Fields of endomorphisms. Nijenhuis torsion and Nijenhuis operators: equivalent definitions.
- Basic properties of Nijenhuis operators. Splitting theorem.
- Diagonalisable and differentially non-degenerate Nijenhuis operators.
- Nijenhuis operators with complex eiganvalues. Generalised Nirenberg-Newlander theorem.
- Nilpotent Nijenhuis operators and Jordan blocks.
- Singular points of Nijenhuis operators and linearisation.
- Left-symmetric algebras. Linearisability and non-degenaracy.
- gl-regular Nijenhuis operators and their canonical forms.
- Nijenhuis perturbations of a Jordan block.
- Normal forms for gl-regular Nijenhuis operators in dimension 2
- Global properties of Nijenhuis operators on closed manifolds.
- Nijenhuis operators and bi-Hamiltonian systems.
- Nijenhuis operators and geodesically equivalent metrics.
- Niejnhuis operators and Poisson brackets f hydrodynamic type.
- Open problems in Nijenhuis Geometry.
Даты и время: 13:40 (МСК) по понедельникам и четвергам
Продолжительность: 12 недель
Первое занятие: 22.03.2021, 13:40
Курс «Введение в теорию интегрируемых систем»
Лекторы
| Олег Мохов | профессор, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия |
| Сергей Смирнов | доцент, Московский государственный университет им. Ломоносова, Россия |
Теория интегрируемых систем — это область математики, которая лежит на пересечении теории дифференциальных уравнений, геометрии и физики. Она была очень быстро развита в последней четверти двадцатого века усилиями нескольких выдающихся математиков и физиков. Целью данного курса является формирование аккуратного и хорошо сфокусированного введения в теорию интегрируемых систем, описание основных ее понятий и методов и рассмотрение набора важных примеров, происходящих из дифференциальной геометрии, классической механики и теоретической физики. В рамках данного курса мы обсудим различные определения интегрируемости, идею представления систем в форме Лакса, метод обратной задачи рассеяния, а затем используем эти методы для изучения таких хорошо известных и важных интегрируемых систем, как цепочка Тоды и уравнение КдФ.
Курс будет полезным не только для тех студентов, которые специализируются в теории интегрируемых систем (как база для будущих исследований), но также и для тех, кто работает в области геометрии, топологии и теории дифференциальных уравнений.
Темы курса
- The Lagrangian formalism: elements of variational calculus, Euler–Lagrange equation, Lagrangian approach to Newtonian mechanics, variational principle and geodesics, Noether’s theorem, generalized variational problem with higher-order derivatives.
- The Hamiltonian formalism: Hamiltonian equations, Hamiltonian form of Lagrangian equation, Poisson brackets and first integrals.
- Symplectic and Poisson manifolds, Darboux’s theorem. Hamiltonian vector fields. Symplectic leaves, Casimir functions.
- Liouville integrability: Liouville–Arnold theorem and action-angle variables.
- Classical examples of integrable systems: Kepler problem, the Lagrange top, geodesics on an ellipsoid.
- Lax representation and first integrals. Lax representations with spectral parameter.
- The theory of one-dimensional Toda lattice: Lax representation, Liouville integrability, inverse scattering method. Relation to the QR-algorithm.
- Bi-Hamiltonian approach and Lenard–Magri scheme.
- The theory of Veselov–Shabat dressing chain: Darboux transformations, Liouville integrability and relation to the Painvele equation.
- Integrable discrete equations on quad-graphs: 3D-consistency and zero curvature representation. Cauchy problem and the Adler–Bobenko–Suris theorem.
- Isospectral deformations of the Schrodinger operator and the Korteweg-de Vries equation (KdV). Single soliton solution.
- Gelfand–Dickey approach: pseudo-differential operators and the square root of the Schrödinger equation. The KdV hierarchy.
- Elements of the scattering theory for one-dimensional Schrödinger operatior with rapidly decaying potential.
- The inverse scattering method for the KdV equation: Gelfand–Levitan–Marchenko eqution, Gardner–Green–Kruskal–Miura equations.
- Reflectionless potentials and multi-soliton solutions for the KdV equation. Interaction of solitons. Asymptotics of solutions to the KdV equation.
- Modified KdV equation, the Miura transformation. Backlund transformation for the KdV equation. The Hirota’s method.
- Gardner–Zakharov–Faddeev bracket. Hamiltonian and bi-Hamiltonian structures for the KdV equation.
- Polynomial integrals of motion for the KdV equation and its complete integrability.
- Asymptotic curves on the surfaces of constant negative curvature and the sin-Gordon equation.
Даты и время: 10:10 (МСК) по вторникам, 13:40 (МСК) по четвергам
Продолжительность: 12 недель
Первое занятие: 23.03.2021, 10:10
Лекции будут проходить на сервисе Tencent VooV Meeting.
Для участия нужно установить приложение по ссылке: https://voovmeeting.com
Следите за анонсами на нашем сайте для получения ConferenceID и паролей.